对凑十法和算法多样化的思考

曹 丽

思考问题：

1、在提倡算法多样化的今天，教师如何对待过去形成的算法处理模式？

2、一年级教师该如何处理“凑十法”和“算法多样化”之间的关系？

背景介绍：旧教材在20以内的进位加法部分非常强调“凑十法”的教学，似乎要奠定凑十法是最佳算法的地位；而新课程提倡计算方法的多样化。一些教师过去已形成的对凑十法的处理方式，很可能会和新的课程改革理念产生冲突。那么教师应该如何处理凑十法和算法多样化两者之间的关系？下面的案例可能会给我们一些启示。《有几瓶牛奶》是一年级上册中20以内进位加法中的教学内容，是“9加几”进位加法的第一课时。

案例描述：

课一开始，一只可爱的卡通人物出现在屏幕，在卡通人物小叮当的身后有一座漂亮的城堡“数学乐园”，然后老师向同学们提出要求，要去乐园玩，就必须闯过每一道难关。

第一关“比一比（看谁算得快）”。根据老师出示的算式卡报出结果；随后是全班同学同时进行。

这个环节实际上是一个口算练习，创设这一情境很快就调动了学生的积极性。老师很好的把握了低段孩子喜欢的情境和比赛的这一心理，为一个很传统的口算练习创设了一个新颖的有趣的情境。

第二关是“编一个数学小故事”，开始进入新课。课件呈现出教材的主题情境图（图中一个盒子里的5个牛奶瓶是白色，另一个盒子里的9个牛奶瓶和书上一样还是浅蓝色），老师要求学生看图编一个含有问题的故事。

第一个学生的回答是：妈妈买了9瓶牛奶，喝了5瓶，还剩多少瓶？

这当然不是老师要的答案，老师马上很有智慧的提示：白色的表示牛奶，蓝色的表示酸奶。于是很快就有学生提出：妈妈来了9瓶酸奶，爸爸买了5瓶牛奶，一共有多少瓶奶？其他孩子很快就把解决问题的方法说出来了：9+5=14

老师问：你是怎么算的？先用小棒摆一摆，把你的想法和小组里的同学说一说。

孩子们七嘴八舌的议论开了：有学生提到了书中所说的“凑十法”，也有学生说是一瓶一瓶的数的。

汇报的时间到了，孩子分别把自己的想法说出来：我是把大数字9记在心里，然后往后数5个数；还有学生利用拆大数或者拆小数分别凑十的方法。老师随着学生的回答，用课件把这两种凑十法做了演示，把凑十法的过程讲解的很清楚。

汇报结束了，学生的回答达到了老师的意愿，于是就进入了练习环节：请学生用自己喜欢的方法计算9+3和7+9。

整堂课就在热闹的比赛和讨论中结束了，这样的课在我们平时所听的公开课中很是常见，针对这堂课老师的设计，老师为什么没有让学生多说自己的算法？是没有发现学生仍有不同的算法，还是观念问题，或者是两者兼而有之？如果原因只是前者，那就是在小组讨论时教师对学生的关注没有到位引致的。小组合作交流的好处毋庸置疑，但一个重要的问题是：学生分组讨论的时候教师该干什么？我认为教师应该更多的关注“非优生群体”。如果老师更多关注“非优生群体”，就能发现孩子们其实还有其他的算法。

但是，从老师的板书中，没让学生多说算法的原因还在于一个观念的问题：凑十法是最佳算法。接着，老师以一个有趣的情境，引出课本的习题：在数学乐园里，大花猫碰到了一个难题，你能帮它解决？最后老师用两个游戏来进行9加几的计算练习。

纵观整节课，老师较好的落实了课标中“让学生生动具体的情境中学习数学”的教学建议，使学生在情境中饶有兴趣的进行了适量的计算练习。而对于课标中“提倡算法多样化”的落实情况却没有落实。尽管老师也朝算法多样化的方向做了一定的努力（如提出学生可以用自己喜欢的方法进行计算），但从对学生算法的展示和练习的板书来看，老师采用的还是旧教材的处理方法：突出凑十法。似乎深信“凑十法是最高效的算法”。我认为，过早过多的强调了凑十法，从而没有落实好教材配套教师用书中的本课教学目标之一-----------“让学生初步体会计算的多样化“。

课标中指出：由于学生生活背景和思考的角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应该尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。这样对培养学生的创新意识与创造思维是十分必要的。教师在教学时应该鼓励学生独立思考，大胆尝试，在此基础上引导学生进行讨论与交流，让学生体会计算方法的多样性。如果不给学生充分的时间汇报，不让学生完全展示其算法，又如何能让学生感受到算法的多样化？

下面是我在上这堂课时学生汇报的计算方法：学生除了拆大数和拆小数凑十两种，还有：（1）一瓶一瓶的数；（2）记住9，然后从9后面开始数5个数；（3）记住5，然后从5后面开始数9个数；（4）9+5=14；（5）因为10+5=15.所以可以算出9+5=14；（6）因为9+10=19.所以可以算出9+5=14；（7）10+5=15，15-1=14；（8）9+10=19，19-5=14；（9）9+10-5=14

这些算法充分体现了学生的个体差异。把其中一个加数作为起点来数，方法（2）和（3）比方法（1）逐个数数大大进了一步，因为前者不再是简单的计数，而是反映出了对加法的较高程度的理解。而从大数数起则又比小数数起又进了一步。美国数学家培恩把它归为一年级学生的五种加法“策略“之一。学生表达方法（4）的措辞往往是“我是心算的，我是脑算的”。这些孩子确实可以又快又准的把结果算出来，我们不妨把它独立理解为一种“心算法”。尽管其余的方法都利用了10的概念，但其中体现出不同的思维层次。如方法（5）（7）（9）对思维的要求越来越高：用方法（5）的学生是算出了15以后，用手指倒数1的方式得到答案；用方法（7）的学生已经明确知道要把多加的数减掉，已经超越了数数的阶段进入充分理解加减法的阶段；用方法（9）的学生可以用连加连减的算式解决问题，进入熟练的加减法阶段。

反思：

一瓶一瓶的数等方法，在成年人的角度来看也许是笨方法，低效方法，但是都是孩子自己独立思考的结果，应该给予尊重和鼓励。我国以往的数学教学中往往着眼于使学生形成统一的标准化的“高效”解题方法（如凑十法）；而国外的不少教材如英国的《剑桥数学》为了发展学生的独立思考和创造思考的能力，并不提出统一的解题方法，给学生留出了自由选择的余地。《剑桥数学》的教师手册中指出：教师可以引入你们喜欢的算法，学生也可以发展出他们自己的算法。如果学生确实能发展出自己的算法，他们就容易记住。

我认为，学生自己发展算法或是他们内心认可的方法，对他们而言才是高效的算法。每一个学生的个体差异是客观存在的，不存在也不应该存在适合每一个孩子的“统一标准化的高效算法”。有的学生一直以来都是通过数手指来计算并且喜欢这个“自己想出来的”方法，如果其计算结果比较准确，速度亦可达标，教室就没有必要要求他采用教师认可的高效算法。

对于计算速度较慢的学生，教师可以引导他们比较各种算法特点，从而选择自己更合适的算法。我们可以考虑以下做法：在小组讨论的时候教师要注意观察，选定几个只喜欢采用每种特定算法的学生（如至少选一个用凑十法的学生，一个从大数开始数数的学生和一个逐个数的学生）在展示完学生的全部算法后，教师可请选定的学生在黑板上计算同一组题目，完成后请他们说说各自的的方法。学生通过对比几种算法，如果可以从内心接受一种对于他本人而言的更好的算法，我们的目的就达到了。如果学生还暂时无法认同一种高效方法，根据格式塔的心理学特点，我认为教师用该学会等待，要相信经过更多的引导，在不久的将来学生会有“顿悟”的一天。

总之，对算法的多样化的处理，教师不应该过早对各种算法作出评价，应鼓励学生充分表达自己的想法，然后引导学生比较各种算法的特点，从而选择适合自己的算法，通过如此途径习得的算法，才是对该生而言的“高效”算法。

以上案例中的授课教师形象应该在教师队伍中并不少见，很多有过若干年的小学数学教学经验的教师，积极学习新课程标准中的理念，也努力的把理念运用到课程改革的教学中，遗憾的是还是难免给人以“穿新鞋走老路”的感觉。冰冻三尺非一日之寒，这些老师已形成的甚至可以说已内化的一些和新课标理念相抵触的观念和教学处理模式，并非一朝一夕就可以改变过来。要解决这类问题，只能靠教师坚持不懈的学习新课标理念，多进行教学反思，认真的把自己的课堂教学和新课标要求及的理念进行对比，进而逐步深化自我对课标理念的认同，有意识的把课标理念融入到每一节课。正如前面文中所说，“不存在也不应该存在适合每一个孩子的统一的标准化的高效算法我们也可以说“不存在也不应该存在适合每一位教师的统一的标准化的教学处理方法。”

如何处理凑十法和算法的多样化？这个问题还是值得我们进行反思和讨论。毕竟教无定法，然而，无论提出何种方法，我们应该达成一种共识：教师不应该过早的对各种算法做出评价，学生正真乐意采用的算法旺旺才是适合该生的“高效”算法。

2011-3-13